معادلات دیفرانسیل در تعدادی از شاخه های علوم مهندسی مانند مطالعه اکوستیک، تئوری اپتیک، لیزر، تئوری پتانسیل، تئوری انتقال اشعه رادیو کتیو، مطالعه پیچش تیرها، جریان گرما، مسائل فیزیکی وغیره ظاهر می شوند. با توجه به اینکه در اکثر موارد یافتن جواب تحلیلی برای این معادلات غیر ممکن ویا امکان پذیر نمی باشد، لذا هدف یافتن جوابهای عددی با دقت بالابرای این معادلات می باشد. پانتوگراف یک سیستم تعلیق هوا یی متداول برای لامپ ها، مانیتور، میکروفن و غیره در استودیوهای تلویزیون است. طراحان از پانتوگراف برای ارایه رسم ها استفاده می کنند. پانتوگراف یکی از مهم ترین اجزای انتقال برق به قطار می باشد که توسط آن می توان برق را از شبکه بالا سری به قطار منتقل کرد. در این پایان نامه، ماتریس عملیاتی مشتق از مرتبه کسری چند جمله ای های جنوکی برای حل معادلات انتگرال دیفرانسیل از مرتبه کسری ولترا- فردهلم به کار برده می شود. برای این کار ابتدا ماتریس عملیاتی مشتق از مرتبه کسری چند جمله ای های جنوکی مشخص می شود و در ادامه توابع هسته معادلات انتگرال برحسب چند جمله ای های جنوکی به صورت ماتریس تقریب زده می شود سپس با استفاده از آن ها معادلات انتگرال دیفرانسیل از مرتبه کسری ولترا - فردهلم به دستگاهی از معادلات جبری تبدیل می شود که با حل آن جواب معادلات انتگرال دیفرانسیل از مرتبه کسری ولترا-فردهلم مشخص می شود. چندین روش برای حل معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری مانند روش تجزیه آدومیان، روش تکرار تغییرات، روش هموتوپی ارائه شده است که هر کدام دارای نقاط ضعف و قوت می باشد. همچنین جواب تقریبی معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری با استفاده از پایه چند جمله ای ها به طور گسترده محاسبه شده است. در اینجا با استفاده از یک روش هم محلی و چند جمله ای های جنوکی به حل معادلات دیفرانسیل پرداخته می شود و نشان داده می شود که جوابهای حاصل دارای دقت زیادی می باشند.
