فرشید میرزائی

مدل‌سازی بسیاری از پدیده‌ها در قالب معادلات تصادفی می‌تواند اطلاعات دقیق‌تری در مورد پیش‌بینی رفتار آن پدیده ارائه دهد. در اغلب پدیده‌های طبیعی، عوامل متعددی تأثیرگذار هستند و مدل‌سازی آن‌ها بعنوان یک مدل قطعی نادرست است. با استفاده از روش مدل‌سازی تصادفی، محققان می‌توانند رفتار یک پدیده را به‌طور واقعی‌تر و دقیق‌تر پیش‌بینی کنند و نتایج قابل اعتمادی ارائه دهند. بنابراین معادلات تصادفی بسیار مهم هستند. به دلیل وجود عوامل تصادفی در این‌گونه معادلات، یافتن جواب دقیق با استفاده از روش‌های تحلیلی عملا بسیار پیچیده و در اکثر موارد غیر‌ممکن است. بنابراین یافتن روش‌های عددی کارآمد و دقیق بمنظور اطلاع از رفتار توابع جواب، بسیار ضروری است. ‎ در سال‌های اخیر استفاده از داده‌های پراکنده برای تخمین توابع مجهول بعنوان روش‌های بی شبکه در حال توسعه است. با توجه به برخی ویژگی‌های منحصربفرد روش‌های بی‌شبکه، این ابزارهای محاسباتی مورد توجه ریاضیدانان و مهندسان قرار گرفته است. روش کمترین مربعات متحرک بعنوان یکی از روش‌های بی‌شبکه بسیار قدرتمند و قابل انعطاف می‌باشد که تقریبی مبتنی بر داده‌های پراکنده را ارائه می‌دهد. در این رساله، معادلات انتگرال تصادفی را با استفاده از روش بدون شبکه کمترین مربعات متحرک بررسی و مطالعه خواهد شد. ‎ در فصل اول در جهت اهداف رساله به بیان مفاهیم پایه‌ای و مقدمات ضروری حسابان تصادفی و حسابان کسری پرداخته می‌شود. در فصل دوم روش بدون‌شبکه تقریب کمترین مربعات متحرک و برخی ایده‌های تعمیم‌یافته آن را معرفی می‌شود. در فصل سوم به توسیع روش کمترین مربعات متحرک با استفاده از پایه چپیشف و روش طیفی هم‌مکانی برای حل معادلات انتگرال تصادفی ولترا-فردهلم خطی و غیرخطی پرداخته می‌شود. در فصل چهارم به ارائه روش کمترین مربعات متحرک با استفاده از پایه استاندارد و روش طیفی هم‌مکانی برای حل معادلات انتگرال تصادفی ایتو ولترا خطی و غیرخطی دو‌بعدی پرداخته می‌شود. در فصل پنجم یک روش عددی مؤثر برای حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل تصادفی مرتبه اول خطی و غیرخطی ارائه شده است. در فصل ششم با بکارگیری تقریب کمترین مربعات متحرک اصلاح شده و روش طیفی هم‌مکانی، یک روش عددی برای معادلات انتگرال-دیفرانسیل تصادفی مرتبه کسری خطی و غیرخطی ارائه خواهد شد. نتایج عددی حاصل از مثال‌های ارائه شده در همه فصل‌ها با استفاده از روش‌های آماری مناسب تفسیر خواهد شد. مهم‌ترین مزیت روش ارائه شده این است که در روش حاضر به شبکه‌بندی ناحیه حل مسئله و پیش پردازش آن نیاز نیست و نتایج بسیار دقیقی با استفاده از تعداد بسیار کم نقاط گره‌ای و توابع پایه ایجاد می‌شود.