فرشید میرزائی

در این رساله، روش‌های عددی نوینی مبتنی بر درونیابی گویای گرانیگاهی در ترکیب با روش هم‌مکانی برای حل رده‌های مختلفی از معادلات تصادفی توسعه و تحلیل شده‌اند. چارچوب نظری شامل معرفی درونیاب‌های گویای گرانیگاهی و بررسی خواص همگرایی آن‌ها است. سپس این چارچوب برای حل معادلات انتگرال تصادفی ایتو-ولترا، معادلات انتگرال دیفرانسیل تصادفی کسری غیرخطی و نیز معادلات دیفرانسیل تصادفی غیرخطی تحت تأثیر حرکت براونی کسری با مرتبه متغیر به‌کار گرفته شده است. در این راستا، از عملگرهای انتگرال کسری، تقریب‌های انتگرال ایتو و طرح‌های عددی همچون انتگرال‌گیری مرکب گاوس-لژاندر بهره گرفته شده است. افزون بر این، یک تقریب نوآورانه برای مدل‌سازی حرکت براونی کسری با مرتبه متغیر بر اساس توابع بلاک-پالس و بی‌اسپلاین ارائه گردیده است. نتایج عددی حاصل از مثال‌های متنوع، دقت، همگرایی و کارایی محاسباتی روش‌های پیشنهادی را نشان می‌دهند. این نتایج بیانگر آن است که روش‌های ارائه‌شده با استفاده از تعداد اندکی گره درونیابی قادر به ارائه تقریب‌های دقیق بوده و در حل مسائل با ابعاد بالا و مقیاس بزرگ از نظر محاسباتی مقرون‌به‌صرفه هستند.