در فصل اول برخی تعاریف مقدماتی از جمله جبر باناخ و مدول های باناخ را معرفی می کنیم. همچنین فضاهای ضرب تانسوری و برخی قضایای مورد نیاز را بیان می کنیم.در فصل دوم به توصیف میانگین پذیری ضعیف جبر (A(X روی فضای باناخ Xمی پردازیم. این توصیف نقش اساسی در بیان نتایج فصل های بعدی دارد.در فصل سوم به بررسی میانگین پذیری ضعیف جبر عملگرهای تقریبی روی فضاهای ضربی،مجموع های مستقیم و دوگان ها می پردازیم.خاصیت تقریبی کراندار نقش اساسی دربیشتر نتایج این فصل دارد،به ویژه نشان خواهیم داد برخلاف میانگین پذیری جبرهای باناخ ،خانواده فضاهای باناخ با خاصیت تقریبی کراندار که جبر عملگرهای تقریبی روی آنها میانگین پذیر ضعیف است تحت مجموع های مستقیم بسته است.همچنین به عنوان یک نتیجه از نتایجی که روی مجموع های مستقیم بیان می کنیم،خواهیم دید خاصیت تقریبی کراندار شرط لازم برای میانگین پذیری ضعیف جبر عملگرهای تقریبی ÷روی یک فضای باناخ نیست.اینکه خاصیت تقریبی کراندار شرط لازم نیست،انگیزه ی اصلی ما برای بیان نتایج فصل چهارم است. در این فصل شرط لازم را معرفی می کنیم و ازآن استفاده می کنیم و مثال هایی از فضاهای باناخی مانند Xرا معرفی می کنیم کهA(X)میانگین پذیر ضعیف نیست. همه مثالهایی که در این فصل معرفی خواهیم کرد شرط دیگری جز خاصیت تقریبی دارند.بنابراین این نتایج به ما این امکان را نخواهد دادتا در مورد کافی بودن خاصیت تقریبی کراندار برای میانگین پذیری ضعیف جبر عملگرهای تقریبی نتیجه گیری داشته باشیم.به این پرسش که آیا خاصیت تقریبی کراندار شرط کافی هست یان در فصل پنجم پاسخ میدهیم.مثال هایی از فضاهای باناخ Xبا خاصیت تقریبی کراندار خواهیم ساخت کهA(X) میانگین پذیر ضعیف نیست.
