رشید رضایی

در این پایان نامه گراف هم ارزی گراف هم ماکسیمال Γ_m(G)، وابسته به گروه متناهی G را بررسی می کنیم. گراف Γ_m(G) گرافی است که رئوس آن زیرگروه های واقعی گروه G هستند که در زیرگروه فراتینی گروه G واقع نشده باشند و دو رأس H و K در Γ_m(G) مجاورند اگر وتنها اگر G = ⟨H,K⟩. رابطه هم ارزی ∽ روی مجموعه رئوس گراف Γ_m(G) را به این صورت تعریف می کنیم که به ازای هر دو رأس H و K، H~K اگر و تنها اگر دارای همسایگی باز یکسان باشند. با استفاده از این رابطه هم ارزی، گراف جدیدی را معرفی می کنیم که آن را با Γ_E(G) نشان می دهیم. مجموعه رئوس گراف هم ارزی، مجموعه کلاس های هم ارزی رئوس Γ_m(G) است و دو رأس [H] و [K] در Γ_m(G) مجاورند اگر و تنها اگر H و K در Γ_m(G) مجاور باشند. سپس به بررسی برخی از خواص گراف هم ارزی مانند عدد رنگی، عدد غلبه ای، قطر و کمر گراف و ارتباط آن با گراف هم ماکسیمال می پردازیم. به علاوه گروه هایی که گراف هم ارزی آن ها کامل، کاهشی، منظم و یا مسطح هستند را طبقه بندی می کنیم. در پایان نشان می دهیم اگر Max(G)| ≤ 4|، آنگاه Γ_E(G) و Γ_m(G) تام هستند.