رشید رضایی

مطالعه ساختارهای جبری با استفاده از ویژگی گرافها موضوعی است که در سالهای اخیر مورد توجه ریاضی دانان قرار گرفته و نتایج شگفت انگیزی به وجود آورده است. مقالات زیادی ارائه شده که در آنها به یک گروه یا حلقه گرافی نسبت داده شده و برخی ویژگیهای جبری آن حلقه و یا گروه با استفاده از این گراف مورد بررسی قرار گرفته است. در این پایان نامه گراف جابجای گروه G را با Γ(G) نمایش می دهیم که رئوس آن عناصر غیر مرکزی گروه G است و دو راس x و y مجاورند هرگاه xy=yx. به سادگی گراف جابه جایی Γ(R) را روی حلقه تعریف می کنیم به طوری که مجموعه رئوس Γ(R) به صورت R-Z(R) است دست و راس r و s با هم مجاور اند اگر و تنها اگر rs=sr. در ادامه بحث به بررسی برخی مشخصات گراف Γ(R)، Γ(G) و Γ(KG) که در آن به ترتیب G گروه متناهی و غیر آبلی، R حلقه ناجابجایی و K میدان است می پردازیم. در میان این نتایج همبندی گراف فوق را در میدان های مختلف مورد بررسی قرار می دهیم نشان می دهیم که اگر G گروه متناهی و غیر آبلی و K یک میدان بسته جبری باشد آنگاه Γ(KG) غیرهمبند است اگر تنها اگر مرتبه G برابر با 6 یا 8 باشد همچنین برای هر میدان دلخواه مانند K ثابت میکنیم Γ(KG) همبند است اگر G گروه متناهی غیر آبلی و ساده باشد.