سعید باقری (بازنشسته)

مطالعه ساختارهای جبری با استفاده از ویژگیهای گراف موضوعی است که در سالهای اخیر مورد توجه ریاضی دانان قرار گرفته و نتایج شگفت انگیزی به وجود آورده است. مقالات زیادی ارائه شده که در آنها به یک گروه یا حلقه گرافی نسبت داده شده و برخی ویژگیهای جبری آن حلقه و یا گروه با استفاده از این گراف مورد بررسی قرار گرفته است. گراف Γ_G را به این شکل به گروه موضعاً غیر دوری G نسبت می دهیم که رئوس آن مجموعه G-Cyc(G) می باشد و دو رأس این گراف مجاورند هرگاه زیرگروه تولید شده توسط آن دو عنصر غیردوری باشد. این گراف را گراف غیردوری می نامیم و ویژگیهای این گراف را بررسی خواهیم کرد. همچنین برخی از خواص نظری گراف از جمله منظم بودن را برای این گراف در نظر گرفته و ویژگی های گروه متناظر آن را بررسی می کنیم ثابت می کنیم عدد خوشه ای گراف Γ_G متناهی است اگر و تنها اگر Γ_G خوشه ی نامتناهی نداشته باشد نشان می دهیم اگر G یک گروه پوچ توان متناهی و H یک گروه باشد که Γ_G=Γ_H و 1 = |(Cyc(G)| = |Cyc(H| در این صورت H یک گروه متناهی پوچ توان است. مثالهایی از گروه هایی مثل G ارایه می دهیم که گراف غیر دوری آنها منحصر به فرد است. یعنی اگر برای گروه H داشته باشیم Γ_G=Γ_H ، آنگاه G= H است. در ادامه این حدس را بررسی خواهیم کرد که هر گروه ساده غیر آبلی متناهی دارای گراف غیردوری منحصر به فردی باشد. همچنین مثالهایی از گروههای متناهی غیردوری مثل G ارایه میدهیم که اگر برای گروه دلخواه H داشته باشیم Γ_G=Γ_H ، آنگاه |G|=|H|.