رشید رضایی

در این پایان نامه نظریه گروه ها را به نظریه گراف ها پیوند می دهیم. گرافی را به گروهی نسبت داده و اطلاعات عمومی گراف را بررسی می کنیم. اردوش ، گراف مرتبط با گروهی که خاصیت جابجایی ندارد را معرفی کرده است: گراف Γ(G) ،گرافی است که مجموعه رئوسش مجموعه ای از عناصر غیرمرکزی آن گروه است (G\Z(G)) و هر دو رأس مجاورند هرگاه خاصیت جابجایی نداشته باشند. همچنین اگر گروه G آبلی باشد، آنگاه Γ(G) پوچ می شود. فرض کنیم Γ(G) گراف ناجابجایی گروه نا آبلی G باشد. در این رساله یک رابطه هم ارزی ∽ روی مجموعه V (Γ(G)) = G ∖ Z(G) به اینصورت تعریف می کنیم که N(x) = N(y) اگر تنها و اگر x ∼ y جایی که { u و x در Γ(G)مجاورند:u ∈ G}=N(x) همسایگی باز x در Γ(G) است. به وسیله کلاس های هم ارزی عناصر غیر مرکزی G گراف جدیدی معرفی می کنیم و با نماد Γ_E(G) نشان می دهیم با مجموعه رأسی{x\in G\Z(G) ؛[x]} به طوری که دو رأس [x ] و [y] مجاورند هرگاه xy\neq yx . ثابت می کنیم که گروه G، یک AC-گروه است اگر و تنها اگر Γ_E(G) گراف کامل باشد. همچنین نشان می دهیم که قطر گراف کلاس های هم ارزی یک گروه کمتر یا مساوی با 2و محیط آن همواره برابر با 3 می باشد. و نیز نشان می دهیم که عدد خوشه ای و عدد رنگی هر دوگراف ناجابجایی و کلاس هم ارزی یکسان است. نشان می دهیم که گراف های کلاس های هم ارزی دو گروه ایزوکلینیک، یکریخت هستند. همچنین ثابت می کنیم گراف کلاس های هم ارزی Γ_E(G) مسطح است اگر و تنها اگر G با یکی از گروه های S3 ،D8 و یا یک گروه بسیار ویژه از مرتبه 27 ایزوکلینیک باشد